ОБЩО ЗА ЧИСЛАТА И ЗА ТЯХНАТА УПОТРЕБА

Числата са абсолютен феномен на човешката цивилизация и култура. Те са човешко изобретение. Числата са навсякъде около нас. Те са от малкото неща, които всеки от нас помни от часовете по математика в училище. Ние използваме символите за числата в абсолютно всички сфери от нашия живот, не само професионален, но и личен. Сигурно няма човек, който да не познава числата. Какво изобщо би бил животът без тези символи? Ако изведнъж по странен начин изчезнат тези знаци и хората изгубят паметта си за тях, сигурно човечеството ще тръгне по същия път отначало – използвайки черти и комбинации от черти да означава нарастване на количеството. Хората са изминали много дълъг път, докато стигнат до идеята, че нещата в заобикалящия ги реален свят се променят и нарастват като количество. Но не само като количество, а и като поредност. Нещо повече, хората са измислили и начин как да означат, че ние търпим загуба или нещо намалява в голяма степен като количество. Поради тази цел числата се определят също и като положителни и отрицателни.
Къде и кога, с каква цел използваме числата? Отговорът на този въпрос ще ни помогне да се върнем на основната цел на нашите уроци – ползата на математиката в нашия реален живот на нематематици. Нека да направим една проста сметка – по колко пъти на ден ни се налага да използваме някакво число като символ или с дума? Ако професията ни е такава, че числата са част от нашия професионален език, значи ние по цял ден говорим на езика на числата. Счетоводители, икономисти, данъчни инспектори, учители по математика, компютърни програмисти и още много други - всички те предполагам се изразяват най-добре на езика на числата. От тяхната комбинация те са способни да предадат цели послания и истории да разкажат, които достигат правилно декодирани и разбрани адекватно до тези, за които са предназначени. Всички останали хора споменават също така по много пъти на ден числата – още със ставането си ние виждаме числата на нашия будилник, те ни придружават през целия ден; например, когато използваме ръчния си часовник, за да кажем колко е часът; когато се наложи да отидем до магазина, за да купим нещо, ние виждаме числата като цени върху продуктите; когато някой иска някаква специфична информация от нас, като например въпрос, свързан с нашата възраст, килограми, височина, година на раждане, от колко години живеем на дадено място и подобни; във всички тези реални житейски ситуации отговорът ни ще включва и числа. Когато готвим в кухнята, ние постоянно измерваме продуктите и ги характеризираме колко тежат, изразени в числа. В тези случаи ние използваме числата като символ или като дума. Числата са част от нашата памет за нашия живот, който може да бъде представен и по този начин. Когато се питаме откога не сме виждали даден човек, ние се сещаме за числата. Числата са част от езиковия фонд на всеки естествен език – те присъстват във фразеологизмите, идиомите, пословиците и поговорките. Ако си поставим за цел да изброим колко пъти на ден ни се налага да споменем числата, без да сме математици, сигурно ще се затрудним да отговорим конкретно, защото съзнателно или не числата са част от нашата представа и визия за света. Нашият човешки мозък така е устроен, че вижда реалните предмети около нас като единични и като мултиплицирани на себе си няколко пъти, а също така и като различни, но повече от един. Същото се отнася и за абстрактните понятия, които макар и да не можем да видим и докоснем, ние можем да си представим като единични или размножени. Всеки е имал поне по една любов в живота си, нали? Но някои са имали и по няколко любови, радости, болки, страдания, надежди. Всички ние обаче имаме по един живот на физическото си тяло, поне доколкото ни е известно.
С разпознаването на числата е свързана и идеята да се брои. Броенето само по себе си означава, че ние виждаме предметите в градация, в тяхното нарастване като количество. С колко числа разполагаме, когато броим? Основно си служим с десет цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. От тяхната комбинация можем да създадем безкрайно големи числа. Да не забравяме, че съществува понятие, което ние вече въведохме „математическа безкрайност“, това е, когато към всяка комбинация от числа можем да добавяме нови и нови числа и на практика това може никога да не свършва. Нека не забравяме, че безкрайността не е число, а идея, концепт в математиката. Всъщност, тук обсъждаме само целите числа, с останалите ще се занимаем отделно. Какво е цяло число? То обикновено е свързано с идеята за цял, неразделен предмет или обект, качество, процес.
Интересен феномен е идеята за поредно число и това е нещо, което ние също така използваме постоянно в нашия реален живот. Свързано е с броенето, но и най-вече със сравняването на нещата. Ние сравняваме постоянно – често искаме да знаем кое е първо, второ, трето, четвърто, пето, шесто, седмо, осмо, девето, десето и така нататък.
Освен това ние постоянно подреждаме числата в някаква последователност, водейки се от тяхната вътрешна числова йерархия. Ние всеки ден извършваме подобни операции, като например да знаем къде да поставим числото 4 преди 5 или след 5. Когато се редим на опашка в магазин например, ние автоматично броим хората на опашката, за да разберем кои по ред сме ние и кога ще дойде нашият ред. Тук ни помага умението да броим, сравняваме и подреждаме, но не толкова числата, колкото реалните обекти, които числата означават. Когато сме в магазин, ние автоматично сравняваме цените на продуктите и си правим сметка дали имаме толкова пари в наличност.
Да, числата съществуват, за да означават нещо реално. Какво точно означават числата, символ на какво са те? Не може да се отговори еднозначно на този въпрос – те може да са символ на всичко и на нищо едновременно. Когато използваме символите на числата, тогава те са абсолютно конкретни и строги, важни, пълни с конкретни и точно разпределени взаимоотношения между тях. Поради тази причина се остава с впечатлението за математиката, че е точна наука. Защото когато видим числовите символи 2 или 4, ние си представяме точно 2 или 4 на брой неща. Какви точно неща? Тук вече математиката от точна наука се превръща в абстрактна, защото силата на числовия символ е в това, че той може да има различен обем. Например, когато кажем „две ябълки“ и „две галактики“, те равни ли са като количество? Като количество, да, те са равни, но като обем числото 2 ще бъде абсолютно различно в двата случая, защото е ясно, че ябълката е нещо малко, докато галактиката трудно се поддава на измерване. Силата и магията на числовите символи е в това, че зад тях може да стои абсолютно всичко от видимия и невидимия свят.
Какво си представяме, когато видим числовия символ 0? Не е ли гениално да има символ за нищото? Защото нулата точно това означава – отсъствие на стойност, отсъствие на признак, отсъствие или липса на присъствие на предмет, качество, отношения и други. Нулата е наистина гениален знак за означаване на „нищо“. Точно в този смисъл ние използваме постоянно нулата в нашия живот – от отсъствие на нещо, до по-абстрактна употреба, като например „За мен ти си кръгла нула“, което, трябва да се съгласим е доста груб езиков израз. Никой не заслужава да чуе, че е „кръгла нула“, това като че ли засилва ефекта на нищото, защото нулата така или иначе е почти кръгла, е, по-скоро е овална. Но нулата е наистина магически знак, защото тя има невероятната способност да прави огромни магии, такива, които за секунда могат да ви превърнат в милиардер. Нека да опитаме, напишете което и да е число на лист хартия, а сега сложете след него, колкото си искате нули, не се скъпете, сложете много нули. Какво ще кажете, тук и помен не остана от нещастната „кръгла нула“ и от смисъла, в който се използва този знак в онзи конкретен езиков израз. Защото нулата има и тази страшно положителна магическа сила, че може да ви направи за секунда невероятно богати, най-богатите на света, и то със силата на математическата безкрайност, а тя има наистина огромна и непобедима сила.
Числата освен всичко това имат славата да са положителни и отрицателни. Това точно не звучи като много добра слава, ако правим асоциации с положителните и отрицателните качества на хората например. Но при числата е малко по-различно. Кое число е „положително“ число? Всяко число, което означава наличието на нещо, на някакво качество или процес, е положително. Например нашата възраст се означава с положително число и това означава, че ние сме живи. Кое число е „отрицателно“? Просто казано, всяко число, пред което стои знакът минус и което се използва да се означи, че нещо намалява като количество или качество. Всяко число, което е по-малко от нулата, е отрицателно число. Значи излиза, че нулата не е най-малкото число, макар и да е способна да означи нищото? Така е, нулата е число с много употреби: тя може да означи нищото, тя може и да увеличава стойността на числата, поставена след тях. Има и числа по-малки от нулата, като например -1, -2, -10 и други. Например 5 и -5, първото е положително число, а второто е отрицателно число. Например с отрицателните числа можем да означим минусовите температури на термометъра. В зависимост от това дали е 20 градуса навън или -20 градуса, означава, че най-малкото нашето облекло навън ще е различно, защото в първия случай ще е топло, а във втория - невероятно студено. Когато става въпрос за банкова сметка, то отрицателните числа, ще означават, че вашата сметка намалява, т.е. парите в нея са по-малко. Когато работим с отрицателна печалба, значи всъщност, че сме на загуба и няма печалба.

Мнозина учени отбелязват, че хората се раждат с „number sense“ с усет да различаваме как нещата се променят като бройка. Също така мнозина смятат, че и много животни и птици са способни да различават едно яйце от повече яйца например. Но на всички съзнателни операции, свързани с числата, хората се научават постепенно.
Една задача за вас: вземете лист хартия и молив и още със ставането си започнете да записвате всеки случай, когато ви се наложи да използвате символите за числа. Предполагам, че списъкът ви ще е наистина голям, защото числата са част от нашата представа за света.
Какво научихме в този урок:
- Кога използваме символите за числата.
- Броене и подреждане на числата.
- Бройни и редни числа.
- Символът за нула 0.
- Положителни и отрицателни числа.
В следващия наш урок за числата ще се научим как да сравняваме числата, ще разберем за тяхната история; за видовете числа, съществували в различните култури по света; за сакралния и божествен смисъл на някои числа; за числото „пи“; и за това как се означават числата с думи в различните езици.

(Елена С. Любенова)

ABOUT THE NUMBERS

The numbers are one of the greatest achievements of human civilisation and culture. They are a human invention. Numbers are all around us. They are among the few things that almost everyone remembers from school mathematics. We use numerical symbols in every sphere of our lives—not only professionally but also personally. There is hardly anyone who does not know the numbers.

What would life be like without these symbols? If, in some strange way, they suddenly disappeared and people lost all memory of them, humanity would probably follow the same path once again, using lines and combinations of tally marks to represent increasing quantities. People travelled a very long intellectual journey before discovering that the objects around them could be counted and that quantities could increase or decrease. Eventually they also realised that quantities follow a sequence. Later they invented ways to represent situations in which something decreases or is lost. This is how the ideas of positive and negative numbers emerged.

When and where do we use numbers? The answer to this question brings us back to the main purpose of our lessons—the value of mathematics in the everyday lives of people who are not mathematicians.

Let us do a simple calculation. How many times during a single day do we use a number, either as a symbol or as a word? If our profession relies heavily on numbers, then we speak the language of numbers almost all day long. Accountants, economists, tax inspectors, mathematics teachers, computer programmers and many other professionals communicate through numbers. By combining them, they send messages and tell stories that their audience understands perfectly.

MATHEMATICAL SYMBOLS

The symbols are the foundation of every culture. They are among the greatest signs of human civilisation, carrying through the centuries humanity's intelligence, knowledge and observations of life. Through symbols, people express ideologies, beliefs and social structures. They are powerful metaphors for humanity's ability to create an abstract metalanguage that serves as a bridge between knowledge and people. A symbol may be a mark, sign, object, action, sound, colour or word that represents ideas, beliefs or relationships between them. Symbols allow people to go beyond what is immediately visible by creating connections between otherwise different concepts and experiences. Symbolism occurs when something represents an abstract idea or concept. Some symbols arise from personal experience, while others are inherited through culture. Language is the most widely used symbolic system. For example, the letters of an alphabet symbolise the sounds of a spoken language. Language is an important source of continuity and cultural identity. All communication is achieved through symbols. The world is filled with them. A red octagon symbolises "STOP". On a map, a blue line may represent a river. Numerals are symbols for numbers. Alphabetic letters represent sounds. Personal names symbolise individuals. A red rose symbolises love and compassion. The variable x in a mathematical equation may represent the position of a particle in space. Sports uniforms, company logos and traffic signs are all symbols. In many cultures, a gold ring symbolises marriage. Some symbols are highly practical; stop signs, for example, provide clear instructions. Gestures also carry symbolic meaning. In cartography, symbols form the legend of a map. The academic study of symbols and signs is called semiotics. Semiotics is closely connected with both linguistics and psychology. It studies not only what a symbol means, but also how it acquired its meaning and how it functions within society. Symbols are tools of complex communication and often have several layers of meaning. Language is a symbolic system through which people communicate and preserve culture. Mathematics is also a symbolic system.

МАТЕМАТИЧЕСКИ СИМВОЛИ

Как да познаем, че един израз се отнася за математиката, а не за музиката и даже не е написан на френски език? Въпросът може да се стори странен на някого, защото нашата обща култура ни позволява да решим веднага кое към коя сфера на познанието принадлежи. Различните сфери на човешкото познание си имат свой собствен език, на който се изразяват. Например, за да станеш добър художник, ти трябва да имаш талант, разбира се, но преди да разбереш дали имаш талант, правиш нещо друго. Запознаваш се с цветовете, научаваш се как да ги смесваш, научаваш се да рисуваш с молив, а когато станеш по-смел и започне да ти харесва, може да започнеш да рисуваш и с цветни бои. В началото ти трябва да се запознаеш с езика, на който се изразяват художниците, щом си решил, че този език на изразяване ще ти помогне да изразиш по-добре своите емоции, чувства, мисли и отношение към твоя вътрешен свят, а и към света навън. Същото е и с музиката – ти може би можеш да пееш и без да познаваш музикалните ноти и това е похвално, даже може да накара цялото ти семейство да се гордее с теб, ако се окаже, че пееш добре. Но ако искаш да свириш на някакъв музикален инструмент, а и да се занимаваш професионално с музика, трябва да научиш езика, чрез който чисто технически музикантите записват музиката си. Точно така, става въпрос за музикалните ноти. Същото е и с френския език – за да се научиш да четеш и пишеш на френски език, трябва да научиш френските букви, да се научиш как да ги съчетаваш една с друга, основните правила на граматиката, както и много други неща, но без буквите няма да можеш да четеш.
Математиката не е по-различна. Тя също има свой език, чрез който съществува и чрез който се разпознава след останалите сфери на познание. Езикът на математиката е символен език, той представлява голяма група от знаци и символи. И това е най-общо казано, защото символите са много и различни на брой. Без тях не е възможно да се извършват специфичните математически операции.
За целите на нашите уроци ще разделим тези символи на две големи групи, защото така ще ми е по-лесно да ги представя по-пълно. В първата група ще влязат чисто техническите символи и знаци, които с помощта на един или два знака, кратко и стегнато заместват взаимоотношения и математически операции, които обикновено могат да се изразят с думи, изрази и даже цели изречения. Сигурна съм, че вие помните голяма част от тези знаци, а и без да сме математици, ние ги използваме по един или друг начин в професиите, които упражняваме. Професионалните математици използват много повече знаци, но те се занимават с т. нар. „висша“ математика, където проблемите са много по-абстрактни и откъснати от нашия реален живот. Тези специфични знаци се използват и от компютърни специалисти, физици, инженери, логици и други професии. Както вече се уточнихме, нашите амбиции са да си припомним математиката до края на средното образование, т.е. до 12, 13 клас, а тя, както ще се уверим, има голямо приложение в много сфери от нашия живот и ние с увереност можем да започнем да я включваме в нашите професии, някои от нас сигурно вече го правят. Но има и нещо друго – компютрите днес са активна част от нашия живот, което означава, че нашата основна компютърна грамотност не може да се осъществи, без използването на математическите знаци. Това означава, че работейки с компютъра, ние сме принудени постоянно да упражняваме голяма част от езика на математиката.
Във втората група от математически символи ще влязат числата. Тази група ще я разгледаме отделно, защото тя заслужава нашето специално внимание. Числата като математически и културен феномен са част от човешката история и цивилизация изобщо. Дълъг път са изминали хората, докато измислят и предложат знаци, които да обозначават как живите и неживите неща около нас се увеличават като бройка. Това на нас днес ни изглежда просто и лесно, но са минали хиляди години, докато хората от различните страни и култури стигнат до единно мнение по този въпрос. За числата няма да има никакъв спор, защото ние всички ги използваме постоянно във всички сфери от нашия професионален и личен живот. Отделно ще разгледаме и числото „π“, което предизвиква голям интерес с факта, че то никога не свършва. Числото π е приблизително равно на 3,14 с точност до третата значеща цифра. Числовата стойност на π, закръглена до 100-ния знак след десетичната запетая, е
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...
И така, нека да започнем с първата група. По мое мнение включих в групата не само онези основни знаци за събиране, изваждане, умножение и деление, които всички ние помним, но и други интересни знаци, които бихме могли да започнем да използваме, а това ще обогати и нашия професионален живот. Техническите знаци съществуват по закона на конвенцията, за да спестяват време и място. Това означава, че исторически математиците от цял свят, са стигнали до споразумение да използват тези знаци с еднакво съдържание. Но е факт, че някои знаци имат свои близнаци в някои страни. Така например знакът за умножение и деление, които се използват в България например, са различни от тези, които се използват в Англия.
И така, нека направим нещо като речник на тези основни знаци.
Общи математически символи:
„+“  „Плюс“. Знак за събиране на числа. Например: 3+7 = 10
„−„  „Минус“. Знак за изваждане на числа. Когато е пред числото, означава, че числото е отрицателно. Например: 5−2 = 3
„× “ -„По“. Знак за умножение на числа. Например: 4×3 = 12
„  / ÷“  „Делено“. Знак за деление на числа. Например: 20/5 = 4
(…)  Кръгли скоби. Знак за групиране на числа и операции между тях. Например: 2(a−3)
[…]  Квадратни скоби. Знак за обединяване на по-голяма група от символи, обединени в кръгли скоби. Например: 2[ a−3(b+c) ]
„∞“ Идеята за безкрайност на комбинациите от числа. Тази безкрайност може да продължава с всяко следващо добавено число към комбинацията от вече съществуващи числа.
„= “  „Равно“. Показва резултата от дадена операция. Например: 1+1 = 2
„ “  „Приблизително равен на“. Например: π 3,14
„≠“  „Не е равно на“. Показва например, че две числа не са равни по стойност и големина едно на друго. Например: π ≠ 2
„ ≤ “  „По-малко от“, „По-малко или равно на“. Използва се при сравняване на стойности на числата. Например: 2 < 3
„  ≥“  „По-голямо от“, „По-голямо или равно на“. Използва се при сравняване на стойности на числата. Например: 5 > 1
„ √“  „Корен квадратен от“. Показва числото, умножено само на себе си. Например: √4 = 2
„° “  „Градус“. Използва се за да се означи на колко градуса е отворен даден ъгъл. С този знак се използват и градусите на температурата – над нулата и под нулата, където са отрицателните числа. Например: 20°
„ ⇒“  „Ако…, тогава“ Например: a и b са нечетни числа ⇒ a+b дават четно число
„ ⇔“  "Ако и само ако" или "е еквивалент на". Например: x=y+1 ⇔ y=x−1
„%“  „Процент“. Например: 1% = 1/100

ABACUS

Today we enjoy the benefits of modern technology, but it has not always been this way. Humanity has travelled a long road to develop the technologies that make many tasks happen almost instantly and make our lives so much easier. If people from the past could see the technological wonders we have today, they would probably have wished to reach our time as quickly as possible. However, progress cannot be forced. It does not happen through sudden intellectual leaps. Discoveries cannot appear overnight. Progress is the result of a long and often difficult journey during which countless small inventions gradually accumulate until they eventually become one great discovery.

Let us take the calculator as an example. Today we hardly think of it as something extraordinary. It is simply a device powered by electricity or batteries that enables us to perform complex calculations involving complicated mathematical operations and very large numbers. Nowadays calculators are integrated into computers, tablets and even mobile phones.

Long before electronic calculators existed, however, a much simpler device performed a similar role—the abacus. Yes, the same abacus that many people today think of merely as a toy used by young children before they start school. As children grow older, they often consider the abacus boring and limited compared with electronic games and digital devices.

СМЕТАЛО

Днес се радваме на разцвет на технологиите, но това невинаги е било така. Хората са изминали дълъг път към откриването на тези технологии, които днес позволяват нещата да се случват толкова бързо и правят живота ни толкова лесен. Ако хората от миналото са знаели какви технологични чудеса ги очакват днес, сигурно са щели да искат по-бързо да стигнат до нашето време. Само че прогресът не може да бъде насилван, той не се случва с интелектуални скокове. Откритията и прогресът не могат да се случат за един ден. Прогресът е път, дълъг и мъчителен път на търсене и на малки открития, които са се натрупвали, за да се превърнат в голямо откритие. Откритията са резултат на интелектуалното търсене, съзряване и натрупване на идеи на човечеството. Да вземем например калкулатора, който днес за нас не е никакво чудо вече, а най-обикновено устройство, захранвано с батерия, което ни помага да направим по-сложни изчисления, включващи сложни математически операции и големи числа. Днес калкулаторът е част от много електронни устройства – компютрите, таблетите, даже нашите телефони вече притежават калкулатор.
Някога тази роля, но в съвсем ограничен обем, е играело сметалото. Да, сметалото, същото онова сметало, което ние мислим, че е детска играчка, която помага на малките деца да се научат да броят, преди да тръгнат официално на училище. След това, като пораснат, те престават да се интересуват от сметалото, защото то им се струва твърде скучно, еднообразно и ограничено като функции, сравнено например с електронните игри. Признайте си – кога за последен път сте държали сметало в ръцете си? Не помните, нали? Мислите, че това е скучен уред. Но не са мислели така хората векове назад. Някога сметалото е бил безценен и много необходим уред за много дейности. Някога, когато технологиите са отсъствали напълно и човешкият живот във всяка една страна на планетата земя е бил напълно обикновен, прост и лишен от електричество, тогава сметалото е играело изключително важна роля, то е било голяма работа. Откриването му не е било лесно и не се е случило за една нощ. Да не забравяме какво казахме за прогреса – той е дълъг процес на интелектуално натрупване на идеи, съзряване и открития, прогресът не се случва за една нощ.
Често се твърди, че математиката притежава универсален език и инструментариум. Обикновено се има предвид факта, че тя може да бъде използвана в много сфери на човешката дейност, например от инженерите, физиците и много други, и те всичките разбират нейния символен език без проблеми. Това прави математиката универсална, защото тя не се нуждае от превод, за да бъде разбран нейният символен език. Например всеки човек във всяка една страна на планетата земя ще разбере напълно адекватно и еднозначно израза: 2 + 2 = 4. В този смисъл математиката е конкретна, защото сборът от конкретни числа дава единствено правилен конкретен резултат. Но какво стои зад числата 2 и 4? Може да стои всичко – две ябълки, две книги, две усмивки, две галактики. Това прави математиката и абстрактна наука, но за това ще стане въпрос в следващи наши уроци. В това отношение естественият човешки език е ограничен в рамките на социума и културата, които са го породили и които го използват. Математиката прекрачва границите между държавите съвсем свободно и нейният език обединява хората. Но математиката не е спусната от космоса в света на хората. Не, тя е човешки език, тя е резултат от опита на хората да разберат живота, който ги обкръжава. Да могат да го измерят, изброят, начертаят, да открият формите му, изобщо – да го видят света през очите на математическите символи, числа и други. Сметалото също е резултат на това желание на хората – да разберат колко на брой са нещата около тях, това придава на света и количествено измерение. Мислехте, че е по-просто, нали? В науката нищо не е просто, всичко е причинно свързано.
И така, какво представлява сметалото?
Сметалото представлява дървена рамка, на която са поставени спици или телени връзки, върху които са нанизани топчета по 10 броя на спица. Тези топчета се прехвърлят от едната страна на другата. Сметалото възниква на основата на „абака“.
Абакът е бил дъска за смятане, известен от V век преди новата ера в Древна Гърция, Рим и Китай. Дъската на абака е била разделена чрез линии на канали, като пресмятането се е извършвало с помощта на поставени в тях камъчета или подобни предмети.
Камъчетата върху една и съща линия са отговаряли на числата от един и същи разряд. Така например при десетичната система в една линия е имало десет камъчета. При това една цяла линия от десет камъчета се е замествала от едно камъче от следващата линия, която е следващият по-голям разряд. При обикновеният абак са се извършвали действията събиране и изваждане.
Предполага се, че това сметало се е появило първо във Вавилон 3000 години преди новата ера. По-късно през V-ти век преди новата ера се е използвало в Египет, като вместо линии и канали са се използвали пръчки и конци, на които са нанизани камъчета.
Смята се, че гръцкият историк Херодот първи споменава за използването на абак през 460 г. преди Христа.

BASIC MATHEMATICAL EQUIPMENT

Mathematics is often associated with a set of drawing and measuring tools. Unlike many language lessons, where you may need little more than a notebook and perhaps a bilingual dictionary, mathematics frequently involves drawing, measuring and constructing shapes, as well as performing calculations. For that reason, we need some special equipment. The basic list includes: 1. A PENCIL We all know what a pencil is, and most of us already use one every day. One of its greatest advantages is that mistakes can easily be erased. For mathematical work, black pencils are usually preferred, but I will happily leave the choice of colour to you. If you want to draw red hearts, yellow suns, orange sunsets or green forests and mountains, please do. Everyone should be free to colour the world with whatever they feel is missing from their own life. Just do not spend all your time drawing money, because that would make me rather sad. Human beings are worth much more than money. Life becomes rather depressing if all we think about is wealth. So, use your pencil boldly. Draw smiles, kindness and positive numbers. There is something rather gloomy about negative numbers, although we shall meet them later. To be fair, we will eventually have a lesson about money. Then I shall give you complete freedom to place as many zeros as you wish after any number you choose. At least for a little while, we shall all become billionaires.

ОСНОВНИ ЧЕРТОЖНИ ИНСТРУМЕНТИ

Популярна математика за всички. Общи математически умения за всеки ден от живота.
Опитваме се да си освежим знанията по математика, а и да намерим отново тяхното място в различните сфери от нашия живот, за да се убедим че математиката е наистина част от много наши дейности. Не, в нашите уроци няма да има изпити, затова се отпуснете и се радвайте на новите си открития. Не искам да ви плаша, но прекарах вчера вечерта да напиша учебен план с всички теми, които подробно искам да ви представя, по-точно техният брой е между 100 и 150. И всички тези математически теми имат място в нашия живот. А сега се успокойте и да започваме.
Започваме с най-основното – какви чертожни инструменти ще са ни нужни, за да се занимаваме с математика, макар и на това популярно ниво. Забравили ли сте за тях? Нека да си ги припомним. Сигурна съм, че някои от тях са вече част от вашия живот, а други ние съвсем съзнателно сме забравили, защото са били част от нашия страх от изпитите по математика.
И така какво ще ни бъде нужно оттук нататък:

1. МОЛИВ – Ние познаваме молива и вярвам, че всички постоянно го използваме с различна цел. Неговата положителна страна е, че когато направиш грешка, можеш да я изтриеш. Моливът за математически цели е основно черен, но аз оставам на вас да изберете любимия си цвят – няма да се сърдя, ако рисувате любовни сърца с червен молив, жълти слънца с жълт или оранжев молив, зелени гори и планини със зелен молив. Всеки е свободен да рисува това, което му липсва в живота. Моля, не рисувайте пари, защото ще ме натъжите и ще си мисля лоши неща за вас. Ние струваме повече от това да мислим за нещо толкова банално като парите. Затова използвайте смело молива и в живота. Рисувайте усмивки, любов и числа, положителни числа. Има нещо доста неприятно в отрицателните числа, но за това ще говорим, когато дойде урокът за положителни и отрицателни числа. (За мое оправдание ще кажа, че ще имаме и урок за парите, спокойно! На този урок ще ви дам свободата да си фантазирате и да рисувате колкото си искате нули след избраното от вас число. Така поне за един урок всички ще сме милиардери. )

2. ОСТРИЛКА – Е, това е много полезен инструмент. Защото моливът и острилката вървят ръка за ръка. Реално в живота ние имаме нужда да подостряме и държим в изправност много и различни по тип неща, като например нашето вдъхновение, любознателност, човещина, състрадателност и любов към живота. Обикновено острилката в тези случаи е нашата съпротива на идеята за край изобщо, а и нашето желание да покажем на живота, че в нас има инат и любов да побъркаме живата и неживата материя с нашата упоритост и направо цялата вселена.

3. ГУМА – Изключително полезен инструмент. Какво би бил нашият живот без гумата – толкова често се налага да триеш лоши неща, които ти се случват, лоши спомени, хора, сълзи, страдание и печал. Трийте смело.

4. ЛИНИЯ – Използвайте линията винаги, когато искате да вървите по права линия. Когато животът ни криволичи и не сме сигурни какво да правим, когато губим посоката на живота, тогава вземаме линията и измерваме разстоянието в сантиметри или милиметри. Изключително полезно е да знаем на колко сантиметра от нас се намира чашата ни с кафе например. Когато мерим собствената си гордост, почтеност и човещина – тогава трябва да мерим строго, защото тези понятия трябва да са на милиметри от нас, даже не трябва да има никакво разстояние между нас и тях, ние имаме постоянна нужда от тях. За големите разстояния използвайте метър.

5. ТРИЪГЪЛНИК – Тук може да е сложно понякога. Върши същата работа, както линията. Но има това предимство, че може да измери и прав ъгъл, а и да ти помогне да го очертаеш като триъгълник. Правият ъгъл е полезно нещо и в живота – понякога трябва да си тръгваш от някои любовни триъгълници по права линия, да бягаш и да не се обръщаш изобщо. Какво да правиш, ако острият или тъпият ъгъл те настигнат и едновременно ти се обяснят в любов? Тогава се спираш, броиш и избираш един от тях. Но любовният триъгълник е сложно нещо. Лошото е, че когато разумът ти казва да бягаш от триъгълници, защото ъглите им могат да са опасни, проблемни и да причинят страдание, тогава сърцето ти се инати и за нищо на света не иска да се признае за победено, иска то да е победителят. В тези случаи вие сами решавайте какво да правите, аз нямам отговор.

6. ПЕРГЕЛ С МОЛИВ – О, боже! Точно този инструмент беше моят личен кошмар. Така и не се научих да държа стегнат молива, за да се нарисува красив кръг. Трябва да практикувате. Ако сте в момент от живота си, когато ви липсва хармония и пълнота, тогава пергелът може да ви помогне да нарисувате един перфектен кръг. Кръгът, както се знае от древността, е символ на съвършенството, завършения жизнен цикъл, хармонията, безкрайната слънчева, а и божествена енергия. Хората по-често трябва да използват пергела, за да рисуват щастливи кръгове.

7. ТРАНСПОРТИР –Това е полезен инструмент, известен още от древен Вавилон. Състои се от малка линия и полукръг, на който са разположени градусите от 0 до 180 или и до 360. С него можете да чертаете на колко градуса да са отворени ъглите. Винаги когато в живота ви е нужна ясна стратегия, план и цел, опитайте да ги постигнете с помощта на точни градуси.

8. КАЛКУЛАТОР – За нашето ниво на популярна математика той може изобщо да не ви трябва. Но ако прецените, че изчисленията стават много трудни и изобщо няма да ви трябват във вашия конкретен живот, нищо, че аз изобщо, без да имам реална представа за вашия живот, твърдя обратното, тогава можете да си играете с калкулатора и да си изчислявате например колко ще остане от заплатата ви, когато си платите сметките. Може и да изчислявате на колко сте години, ако сте от хората, които предпочитат да не помнят на колко точно са години.

За езиците на планетата земя// About the languages on our planet

Приблизително около 6800 човешки езика се говорят на планетата земя. Реално има много повече езици, които ние почти не познаваме. Всяко живо и неживо нещо има своя език на изразяване, то говори по определен начин. Ние не знаем нищо за езика на животните, птиците, рибите, цветята, растенията. Също толкова непознат и загадъчен за нас е и езикът на планините, горите, пясъка, езика на бебетата. Слънцето, луната и останалите планети и звезди комуникират с нас на непознат за нас език, който ние изобщо не разбираме. Ние знаем много малко и за езика на науката и математиката също така. Може би когато успеем да разкодираме езика на огромния макрокосмос около нас, тогава ще разберем и много тайни за нас самите – за езика на нашия мозък, езика на нашето сърце, душа, емоции, чувства, езика на любовта, езика на състраданието и човечността, доброто и злото, страданието. Може би тогава ще успеем да открием лекарства за болестите на тялото си. Нашият микрокосмос зависи изцяло от това доколко добре разбираме езика на макрокосмоса. И обратното също е вярно. Да отворим съзнанието си за езиците около нас, да не го държим егоистично само в нашето тяло.

От всички тях може би точно езикът на любовта е от най-мълчаливите, той не обича свидетели и безкрайни фалшиви уверения във вярност, те са безсмислени за него, банални и пошли.  Тя няма нужда от шумни театрални пози и жестове, това само може да я изплаши.  Езикът на любовта прониква по-дълбоко от изразените думи и засяга цялата ни същност, белязва я, променя я, учи я да говори от името на целия космос, свързва ни с друтия на невидимо и дълбоко ниво, за което разстояния не съществуват, защото за енергията няма преграда. Учи ни да простим и да пуснем на свобода, защото езикът на любовта е синоним не на ежедневна, клиширана робска вярност към другия, но предателство към себе си. Това е по-скоро форма на контрол, манипулация на другия чрез неща, които са скъпи за него, заплаха, че той може да ги изгуби, ако не направи това, което искаме от него. Това не е любов. Не, езикът на любовта е онази енергия, която живее в сърцето ни, където и да отидем и на която ние ставаме несъзнателно верни, защото единствено чрез нейната сила и влияние ние можем да израстваме, да се променяме, да бъдем свободни и независими, горди личности. Нашето сърце е онази неуморна, смела фабрика, която произвежда чудото на любовта. Тя често бива оцветена от болката на раздялата, но самата любов не е болка, която която идва от желанието за притежание и от нашите различни очаквания. Благодарността е най-благородният изразител на езика на любовта, благодарност за това, че сърцето ни все още е способно да чувства, мисли по своему, че искрата на живота е все още жива за него. Без искра и вдъхновение за високите сфери на живота, той би бил безсмислен и студен, пълен единствено с консуматорска пошлост. С благодарност, че Бог ни е създал способни да се научим на езика на любовта. А това означава, че нашето сърце е все още живо и способно да генерира езика на любовта, който може да ни даде смелост и сила, за да продължим напред. А това означава, че сме все още живи.

Approximately 6,800 human languages are spoken on the planet earth. Actually, there are many more languages around us, which we hardly know. Every living and non-living thing has its own language of expression, it speaks a certain way. We know nothing about the language of the animals, birds, fish, flowers, plants. Equally strange and mysterious for us is the language of the mountains, forests, sand, and the language of the babies. The sun, the moon and the other planets and stars communicate with us in an unknown language to us that we do not understand. We know little as well about the languages of the science and mathematics. Maybe when we can encode the language of the vast macrocosm around us, then we will find many secrets about ourselves - the language of our brain, the language of our heart, soul, emotions, feelings, the language of love, compassion, humanity, kindness, good, evil and suffering. Maybe then, we can find medicines for diseases of our body. Our microcosm depends entirely on how well we understand the language of the macrocosm. Let us open our minds to the languages around us, not to keep ourselves selfishly only in our body.


https://www.facebook.com/CoolDialogue/

I AM YOU, YOU ARE ME

I am the Big Bang, the beginning of everything in the universe. You are a cloud of dust searching for the form in which to be born. I shake everything and break it into pieces; you gather everything and give it form. I am the star born after the Big Bang. You are life, searching for its home. I am the bacterium born in the water. You are the water—life itself. I am the light and the warmth without which you cannot live. You are life, the reason I am here. I am evolution. You are multiplication and love. I am the planet on which life overflows with forms, imagination and beauty. You are the one who created this beauty.

I am the Creator who made man from clay and then, from his own rib, made him a companion. You are the serpent who tempted Eve with the apple. I am Adam, who needed Eve so that he would not experience the pain of creation alone. I am Cain and Abel. I am betrayal. You are faithfulness. I am the fear of separation. You are courage, the certainty that there is always another chance. I am pain and suffering. You are the caress, the tenderness and the mercy.

I am the one you did not want to leave. You are the one who let me leave because you were afraid. I am the one who was ready to break her chains to be with you. You are the one who did not want to break his own chains for me. I am the one who was ready to fly even while shackled. You were the slave who did not dare to be free for me. I am the one who left in order to set you free. You are the one who suffered in silence and in secret.

АЗ СЪМ ТИ, ТИ СИ АЗ

Аз съм големият взрив, началото на всичко във вселената. Ти си облак от прах, който търси формата, в която да се роди.

Аз разтърсвам всичко и го разпилявам, ти събираш всичко и му даваш форма.

Аз съм звездата, която се ражда след големия взрив. Ти си животът, който търси своя дом.

Аз съм бактерията, която се ражда във водата. Ти си водата, самият живот.

Аз съм светлината и топлината, без които ти не можеш. Ти си животът, причината да ме има.

Аз съм еволюцията. Ти си размножаването и любовта.

Аз съм планетата, на която животът прелива от форми, въображение и красота. Ти си този, който създава тази красота.

Аз съм Създателят, който от глина направи мъжа, а после от собственото му ребро му направи компания.

Ти си змията, която изкуши Ева с ябълката. Аз съм Адам, който имаше нужда от Ева, за да не преживява болката от сътворението сам.

Аз съм Каин и Авел, аз съм предателството. Ти си верността.

Аз съм страхът от раздялата. Ти си смелостта, предизвикателството, че винаги има и следващ път.

Аз съм болката, страданието. Ти си ласката, нежността, милосърдието.

Аз съм тази, от когото ти не искаше да си тръгнеш. Ти си  този, който ме пусна да си тръгна, защото се страхуваше.

Аз съм тази, която беше готова да свали веригите си, за да бъде с теб. Ти си този, който не искаше да махнеш своите вериги заради мен.

Аз съм тази, която беше готова да полети и окована. Ти беше робът, който не искаше да е свободен заради мен.

Аз съм тази, която си тръгна, за да те освободи. Ти си този, който страдаше мълчаливо и тайно.

Аз бях краят на себе си. Той беше началото. Той  превръщаше водата във вино. Той можеше да ходи по вода. Той беше всичко, когато не ни оставаше нищо друго. Той беше ласката, милостта, състраданието. Той беше с мен, когато ти не пожела.  Той беше обещанието. Той е гравитацията.

Аз съм мъжът, който седи срещу теб и отпива от кафето си и замечтано наблюдава жената срещу себе си. Аз съм жената,  която седи срещу мъжа с кафето и не откъсва очи от него, опитвайки се да го хипнотизира завинаги.

Аз съм този, когото вълните безмилостно притеглят към теб. Ти си медът, ти си забраненият плод.